Imposibles lógicos

Antonio Vélez M.

En el campo de la teoría de conjuntos se han descubierto imposibles desconcertantes. Por ejemplo, a pesar de que es perfectamente concebible un conjunto cuyos elementos sean todas las cosas existentes, es decir, el conjunto universal, Bertrand Russell demostró que dicho ente no existe como conjunto: por motivos lógicos, el conjunto universal no puede ser un conjunto de verdad, dado que aceptar su existencia conduciría a una contradicción lógica. No es más que un fantasma creado por nuestra mente. El todo y la nada, los extremos cuantitativos, son dos ideas que aparecen con entera claridad ante la mente, y están apoyadas con firmeza en el sentido común, pero cuando son examinadas a la luz del pensamiento racional elaborado, revelan, no pocas veces, características antinómicas.

Entre todos los imposibles hay uno muy destacado; quizá sea el resultado más trascendental del pensamiento abstracto y el que establece, de verdad, un límite a las construcciones formales del hombre. Aunque su comprensión plena exige conocimientos avanzados de lógica, se puede, sin embargo, hacer una presentación elemental de su contenido. El prodigio checo Kurt Gödel probó que, en toda teoría axiomática suficientemente compleja como para poder formular en ella el problema de su propia consistencia (la no existencia de contradicciones), esa propiedad no es demostrable dentro del sistema. Se deriva de allí que siempre existirán proposiciones “indecidibles”, esto es, de las cuales no se puede demostrar que sean verdaderas o falsas. Un golpe mortal al intuitivo “tercio excluido” de la lógica aristotélica, que afirma que o bien una proposición es verdadera, o lo es su negación.

El inconveniente anterior se presenta en la elemental y, en apariencia, inocente aritmética. Necesariamente se encontrarán en ella proposiciones o afirmaciones de ese tipo, llamadas, por consiguiente, indecidibles. Esto fue realmente descorazonador, pues por muchos siglos el hombre creyó que todas las afirmaciones que se hiciesen en ese campo, por complicadas que fuesen, algún día brotaría un genio capaz de probar su verdad o falsedad. Que solo era una cuestión de paciencia. Gödel, con su genial teorema de indecidibilidad, estableció fronteras donde antes todo parecía alcanzable. Descubrió, para perplejidad de sus contemporáneos, que el planteamiento axiomático de una teoría era incompleto, esto es, no agotaba su propio dominio de verdad. Y descubrió, en forma indirecta, que el pensamiento lógico de los humanos no podía ser omnipotente, como siempre se había pretendido. Una verdadera lección de humildad.

Pocos años después de la publicación del trabajo de Gödel, el lógico inglés Alan Turing demostró una proposición relacionada con la de Gödel, pero con una apariencia más cercana a la vida diaria. Turing probó que no existe un procedimiento general que permita saber si la máquina teórica inventada por él (máquina de Turing), equivalente a un computador digital, acabará o no su tarea en un tiempo finito cuando se pretenda procesar cualquier conjunto de datos. En otros términos, que existen problemas de cálculo que ningún computador digital es capaz de resolver. A propósito de lo anterior, el punto más discutido en el momento por los estudiosos de la conciencia es si el cerebro humano puede asimilarse a una máquina de Turing. El físico Roger Penrose cree haber demostrado que no: que el cerebro humano no puede reemplazarse por ningún computador, sin importar para nada la potencia que este tenga. En otras palabras, que nuestro cerebro de carbono es esencialmente diferente de todos los de silicio.

El leguaje natural también tiene sus imitaciones. ¿Cuántas veces no somos capaces de traducir al lenguaje corriente lo que acabamos de soñar? La poesía, con toda su potencia expresiva, no es suficiente para describir por completo el universo estético. Y el mensaje trasmitido por el lenguaje musical, por ejemplo, es inefable: esto es, no se deja codificar completamente en palabras; es intraducible a otros lenguajes. Ahora bien, para disfrutar plenamente de la belleza del mundo de la física, indispensable hablar el lenguaje matemático, una lengua muda pero expresiva en alto grado. Quien no la hablare, no podrá jamás recrearse con la música del cosmos. Será como un sordo frente a la experiencia musical.